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La logica è un ambito della Matematica molto importante, che permette di studiare e schematizzare concetti ricorrenti e fondamentali come l’implicazione logica, la congiunzione e la disgiunzione di enunciati, e così via. In questa lezione daremo una introduzione di quella che viene chiamata logica classica, e mostreremo il legame che essa ha con la teoria degli insiemi.

 

Definizione

Si chiama proposizione o enunciato una frase per la quale si possa stabilire con certezza se è vera o falsa.
Un predicato è invece una proposizione che dipende da una variabile (o più variabili) appartenenti a un certo insieme D D , detto dominio (o domini D 1 , D 2 , D_1, D_2, \ldots , nel caso di più variabili) del predicato.

 

Intuitivamente, possiamo dire che un predicato è una collezione di proposizioni che si possono esprimere secondo una “regola generale”.

Facciamo alcuni esempi:

  • la frase “8 è un numero primo” è una proposizione (che in questo caso è certamente falsa); non è una proposizione, invece, una frase del tipo “I quadri di Picasso sono belli”.
  • l’espressione p ( x ) : x   e ˋ  un numero primo x N p(x): \quad x \text{ è un numero primo} \quad x \in \mathbb{N} è un predicato, che dipende dalla variabile x D = N x \in D = \mathbb{N} .
  • l’espressione p ( x , y ) : x   e ˋ  un multiplo di  y x , y N p(x, y): \quad x \text{ è un multiplo di }y \quad x, y \in \mathbb{N} è un predicato, che dipende dalle variabili x D 1 = N , y D 2 = N x \in D_1 = \mathbb{N}, y \in D_2 = \mathbb{N} .


Notazione: generalmente una proposizione viene indicata con una lettera minuscola dell’alfabeto latino ( p , q , p, q, \ldots ) e un predicato viene indicato con scritture del tipo p ( x ) , q ( x ) , p(x), q(x), \ldots (che ricordano il modo di scrivere una funzione; in un certo senso, infatti, un predicato è una “funzione con valori nell’insieme delle proposizioni”).

Definizione

Dato un predicato p ( x ) p(x) con dominio D D , chiameremo insieme di verità di p ( x ) p(x) l’insieme P D P \subseteq D costituito dagli elementi di D D per cui p ( x ) p(x) è vero.

Per esempio, il predicato p ( x ) : x   e ˋ  un divisore di  1 2 , x N p(x): x \text{ è un divisore di } 12, x \in \mathbb{N} ha come insieme di verità l’insieme P = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 1 2 } P = \{ 1, 2, 3, 4, 6, 12\} che è un sottoinsieme proprio di D = N D = \mathbb{N} .

 

 

Operazioni tra proposizioni e il loro legame con gli insiemi

In questo paragrafo vediamo alcune delle operazioni che si possono svolgere tra due o più proposizioni in logica, e vedremo come questa branca della Matematica sia strettamente legata con la teoria degli insiemi.

 

Definizione

Si dice negazione di una proposizione p p la proposizione che è vera quando p p è falsa, e falsa quando p p è vera.
La negazione di p p si scrive p \overline{p} e si legge “non p p ”.

Riassumiamo la definizione appena data utilizzando una tavola di verità, uno strumento che utilizzeremo anche in seguito. In essa vediamo come, a seconda del valore di verità di p p (dove con V intendiamo “vero” , e con F intendiamo “falso”), varia il valore di verità di p \overline{p} :

p p p \overline{p}
V F
F V


Possiamo definire anche la negazione di un predicato p ( x ) p(x) con dominio D D , in questo senso: p ( x ) \overline{p}(x) sarà il predicato negazione di p ( x ) p(x) che - una volta fissato un x 1 D x_1 \in D - assumerà il valore “vero” o “falso” a seconda che la p ( x 1 ) \overline{p}(x_1) sia una proposizione vera o falsa, rispettivamente.

Se chiamiamo P P l'insieme di verità di p ( x ) p(x) , l'insieme di verità R R di p ( x ) \overline{p}(x) risulta essere il complementare P \overline{P} di P P (considerando il dominio di p ( x ) p(x) come insieme universo). Abbiamo quindi un parallelismo tra l’operazione di negazione tra predicati \overline{\cdot} e il passaggio al complementare tra insiemi.

Per esempio, considerando il predicato p ( x ) : x   e ˋ  maggiore di  5 , x N p(x): x \text{ è maggiore di }5, x \in \mathbb{N} con insieme di verità P = { 6 , 7 , 8 , } P = \{6, 7, 8, \ldots \} allora abbiamo che l’insieme di verità R R di p ( x ) \overline{p}(x) è dato da R = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } = P R = \{1, 2, 3, 4, 5\} = \overline{P} .

 

Definizione

Si definisce congiunzione di due proposizioni p p e q q la proposizione che è:

  • vera se p p e q q sono contemporaneamente entrambe vere;
  • falsa in ogni altro caso.

La congiunzione tra p p e q q si indica con la scrittura p q p \wedge q e si legge “ p p e q q ”.

Riassumiamo la definizione appena data utilizzando una tavola di verità, uno strumento che utilizzeremo anche in seguito. In essa vediamo come, a seconda dei valori di verità di p p e q q (dove con V intendiamo “vero” , e con F intendiamo “falso”), varia il valore di verità di p q p \wedge q

p p q q p q p \wedge q
V V V
V F F
F V F
F V F


Possiamo pensare di effettuare l’operazione \wedge anche tra due predicati p ( x ) , q ( x ) p(x), q(x) in maniera simile a quanto fatto prima. Inoltre, la somiglianza tra il simbolo \wedge e il simbolo \cap non è casuale: infatti, se P , Q P, Q sono gli insiemi di verità di p ( x ) p(x) e q ( x ) q(x) rispettivamente, allora l’insieme di verità di R R di p ( x ) q ( x ) p(x) \cap q(x) è uguale a P Q P \cap Q . Abbiamo quindi un parallelismo tra la congiunzione tra predicati \wedge e l’intersezione tra insiemi \cap .

Per capire meglio la situazione, prendiamo il seguente esempio:

p ( x ) : x   e ˋ  un multiplo di 3 , x N q ( x ) : x   e laptop Piquadro Square per 13 Black Zaino ˋ  un divisore di 12 , x N p ( x ) q ( x ) GUESS Borsa Borsa Marrone Borsa Marrone Borsa Marrone GUESS Marrone Borsa Marrone GUESS Borsa Borsa Marrone GUESS GUESS GUESS awx8Aq : x   e ˋ  un divisore di  1 2 , ed  e ˋ  un multiplo di  3 , x N \begin{aligned}p(x) & : x \text{ è un multiplo di 3}, x \in \mathbb{N} \\q(x) & : x \text{ è un divisore di 12}, x \in \mathbb{N} \\p(x) \wedge q(x) & : x \text{ è un divisore di }12\text{, ed è un multiplo di }3, x \in \mathbb{N}\end{aligned}

Allora P = { 3 , 6 , 9 , } P = \{3, 6, 9, \ldots \} e Q = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 14 tracolla Metrosafe Pacsafe a Borsa LS350 qZaqOfBSXw 1 2 } Q = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} ; inoltre l’insieme di verità di p ( x ) q ( x ) p(x) \wedge q(x) è R = { 3 , 6 , 1 2 } R = \{3, 6, 12\} e vale R = P Q R = P \cap Q .

Insomma affinché un predicato ottenuto dalla congiunzione di due predicati sia vero è necessario che la variabile x x soddisfi contemporaneamente (cioè renda contemporaneamente veri) entrambi i predicati di partenza.

 

Definizione

Si definisce disgiunzione di due proposizioni p p e q q la proposizione che è:

  • falsa se p p e q q sono contemporaneamente entrambe false;
  • vera in ogni altro caso.

La disgiunzione tra p p e q q si indica con la scrittura p q p \vee q e si legge “ p p o q q ”, o anche “ p p vel q q ”.

Costruiamo la tavola di verità:

p p q q p q p \vee q
V V V
V F V
F V V
F F F


Possiamo estendere l’operazione di disgiunzione anche tra due predicati p ( x ) , q ( x ) p(x), q(x) , con insiemi di verità P , Q P, Q rispettivamente, in maniera simile a quanto fatto in precedenza per la disgiunzione. In questo caso, inoltre, l’insieme di verità del predicato disgiunzione p ( x ) q ( x ) p(x) \vee q(x) è dato da P Q P \cup Q . Abbiamo quindi un parallelismo tra l’operazione di disgiunzione tra predicati \vee e l’unione tra insiemi \cup .

Continuando con l’esempio precedentemente introdotto: p ( x ) q ( x ) : x   e ˋ  un divisore di  1 2 , oppure  Square per Black 13 Piquadro Zaino laptop e ˋ  un multiplo di  3 laptop 13 Square Black Piquadro per Zaino , x N p(x) \vee q(x) : x \text{ è un divisore di }12\text{, oppure è un multiplo di }3, x \in \mathbb{N} e dunque R = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , Piquadro Black 13 per Zaino Square laptop 1 2 , } = P Q R = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, \ldots \} = P \cup Q .

Insomma affinché un predicato ottenuto dalla disgiunzione di due predicati sia vero è sufficiente che la variabile x x soddisfi (cioè renda vero) almeno uno dei predicati di partenza.

 

Definizione

Si definisce implicazione materiale, o più semplicemente implicazione di due proposizioni p p e q q , la proposizione che è:

  • falsa quando q q è falsa e p p è vera;
  • vera in tutti gli altri casi.

L’implicazione materiale di p p e q q si indica con la scrittura p q p \rightarrow q e si legge “se p p allora q q ”, o anche “ p p implica q q ”.
In questo contesto, inoltre, la proposizione p p si chiama antecedente, mentre la q q si chiama conseguente.

Costruiamo la tavola di verità:

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p p q q p q p \rightarrow q
V V V
V F F
F V V
F F V

 

Osserviamo che l’unico caso in cui un predicato ottenuto dall’implicazione di due predicati può risultare falso è quello in cui esiste almeno una variabile x D x \in D che rende vera l’antecendente e contemporaneamente rende falsa la conseguente.

 

Definizione

Data un’implicazione a b a \rightarrow b , si definiscono:

  • l’implicazione contraria di a b a \rightarrow b , che è a b \overline{a} \rightarrow \overline{b} ;
  • l’implicazione inversa di a b a \rightarrow b , che è b a b \rightarrow a ;
  • l’implicazione contronominale di a b a \rightarrow b , che è b a \overline{b} \rightarrow \overline{a} .


È importante notare che se a b a \rightarrow b è vera, allora anche la contronominale b Square per 13 Black Zaino laptop Piquadro a \overline{b} \rightarrow \overline{a} lo è: nulla si può dire invece sull’inversa e sulla contraria.

Facciamo un esempio per chiarire la situazione. Dato una figura geometrica T T , consideriamo le proposizioni p = p= T T è un triangolo” e q = q= T T è un poligono”, e l’implicazione p q p \rightarrow q = “se T T è un triangolo, allora T T è un poligono”. La proposizione ottenuta è vera, ma vale quanto segue.

  • La contraria p q = \overline{p} \rightarrow \overline{q}= ”se T T non è un triangolo, allora T T non è un poligono” non è necessariamente vera . Per esempio T T potrebbe essere un pentagono, che rende vera l’antecedente (infatti T T non è un triangolo) ma rende falsa la conseguente (infatti T T è un poligono).
  • L’inversa q p = q \rightarrow p = ”se T T è un poligono, allora T T è un triangolo” non è necessariamente vera. Per esempio T T potrebbe essere un quadrilatero, cioè un poligono che non è un triangolo.
  • La contronominale q p = \overline{q} \rightarrow \overline{p}= ”se T T non è un poligono, allora Piquadro laptop per 13 Zaino Black Square T T non è un triangolo” è invece certamente vera. Infatti non esiste alcun triangolo che non sia un poligono.

 

Definizione

Si definisce coimplicazione materiale, o più semplicemente coimplicazione di due proposizioni p p e q q , la proposizione che è vera quando p p e q q hanno il medesimo valore di verità.

La coimplicazione materiale di p p e q q si indica con la scrittura p q p \leftrightarrow q e si legge “ p p se e solo se q q ”, o anche “ p p coimplica q q ”.

Costruiamo la tavola di verità:

p p q q p q p \leftrightarrow q
V V V
V F F
F V F
F F V

 

 

Definizione

Consideriamo due predicati p ( x ) , q ( x ) p(x), q(x) con dominio D D . Se ogni valore di x D x \in D che rende vero p ( x ) p(x) rende vero anche q ( x ) q(x) (cioè, se p ( x ) q ( x ) p(x) \rightarrow q(x) x D \forall x \in D ) allora:

  • diremo che p ( x ) p(x) implica logicamente q ( x ) q(x) , e scriveremo p ( x ) q ( x ) p(x) \Rightarrow q(x) ;
  • molto spesso diremo anche che p ( x ) p(x) è condizione sufficiente per q ( x ) q(x) , mentre q ( x ) q(x) è condizione necessaria per p ( x ) p(x) .

Se p ( x ) p(x) implica logicamente q ( x ) q(x) , e anche q ( x ) q(x) implica logicamente p ( x ) p(x) , allora diremo che p ( x ) p(x) e q ( x ) q(x) sono logicamente equivalenti e scriveremo p ( x ) q ( x ) p(x) \Leftrightarrow q(x) .


L’implicazione e l'equivalenza logica tra i predicati hanno un corrispondente all’interno della teoria degli insiemi. Infatti è possibile mostrare che se P , Q P, Q sono gli insiemi di verità dei predicati p ( x ) , q ( x ) p(x), q(x) allora:

  • se p ( x ) q ( x ) p(x) \Rightarrow q(x) , allora P Q P \subset Q ;
  • se p ( x ) q ( x ) p(x) \Leftrightarrow q(x) , allora P = Q P = Q .

Abbiamo quindi un parallelismo tra la implicazione logica tra predicati \Rightarrow e l’inclusione insiemistica \subset , così come tra l'equivalenza logica tra predicati \Leftrightarrow e l’uguaglianza insiemistica = = .

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Facciamo un esempio. Consideriamo i seguenti predicati:

p ( x ) : x   e ˋ  un multiplo di 4 , x N q ( x ) : x   e ˋ  un multiplo di 2 , x N \begin{aligned}p(x) & : x \text{ è un multiplo di 4}, x \in \mathbb{N} \\q(x) & : x \text{ è un multiplo di 2}, x \in \mathbb{N} \\\end{aligned}

Allora:

  • l’insieme di verità P P di p ( x ) p(x) è P = { 4 , 8 , 1 2 , 1 6 , } P = \{4, 8, 12, 16, \ldots\} ;
  • l’insieme di verità Q Q di q ( x ) q(x) è Q = { 2 , 4 , 6 , 8 , } Q = \{2, 4, 6, 8, \ldots\} ;
  • è chiaro che p ( x ) q ( x ) p(x) \Rightarrow q(x) , e infatti P Q P \subset Q .


Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino

Testo su Matematica

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